Travaux des étudiants du M2 didactique pour l’UE actualité des maths
J’ai rassemblé ci-dessous les notes brutes que j’ai prises lors des exposés, et les documents qui nous ont été transmis (dont celui de David Rouimi, qu’il m’avait donné en version papier et que j’ai scanné).
Si vous préférez, voilà une archive qui contient tous les documents reçus.
Sommaire
Moussavou
Documents
Exposé
Notes de Lionel:
début vers 13h40 principe: se mettre en situation de recherche, et comparer au travail sur un exercice. sujet: nombres premiers. premier thème: conjecture de golbach. vu Christian, dernier résultat connu: th. de Chen, dur, ancien. réorientation sur les différentes preuves d’euclide et conjecture des nb premiers jumeaux. comparaison preuve euclide (on construit un premier plus grand) vs. celle du collège (pareil mais par l’absurde). autres exemples: nb de fermat, topologie, euler, wilson et là ça marche premières conclusions: importance de la définition du sujet, phénomène de contrat, découpage en blocs (cf. les sujets de problèmes) ... (lien avec théorème vivant, de Villani) sur un problème ouvert, pas de processus d’autocontrôle (du type "c’est difficile donc j’ai dû me planter") suite de l’étude: infinité de l’ens des nombres premiers, via wilson et ça marche (importance des deadlines) critique des ESFI (enseignement scientifique fondé par l’investigation): nécessité de s’affranchir du programme conclusion: + cf. création d’exercices + formation initiale et continues des enseignants: très différent (des TER) + encadrement des stages hippo par les agrégatifs: à ne pas faire avant l’immersion dans une classe ? fin à 14h questions jusqu’à 14h08
Rouimi
Documents
Exposé
Notes de Lionel:
début à 14h12 fonctionnement: 26 cubes + centre (mécanisme) 6 face, 8 sommet, 12 arête résolution: méthode lente, par couronnes méthode de fridrich, plus complexe, plus rapide but: structure de groupe du rubik's cube groupe de permutations on nomme les faces: avant, postérieure, D, G, H, B mouvements élémentaires: quarts de tour horaire ou antihoraire majoration du nb de configurations [QUESTION: présentations de groupes (minimale, ...)] étude de cas sur les orbites de certains cubes et l’ordre de certaines permutations. discussion des combinaisons inatteignables, et des permutations impossibles [QUESTION: toutes les contraintes?] [QUESTION: nombre minimal de mouvements] fin à 14h26 Christian: à qui s’adresse cet exposé ? Vulgarisation pour personnes avec un bagage mathématique. Christian: et avec les élèves ? Atelier au collège: apprendre des formules de résolution aux élèves. Codage d’une situation. Objectif: concours. Plus facile pour les élèves qui ont des facilités en géométrie. Valorise les élèves. Collège Prévert à Frais Vallon. fin des questions à 14h36
Drousset / Giordano
Documents
Exposé
Notes de Lionel:
céline giordano et karine drousset
début à 14h42
lecture de "preuves et réfutations", de lakatos
lien avec la TAD?
conjecture d’Euler
- raison du choix de cette conjecture
- raison du choix de la forme (dialogue)
[lien avec la théorie de la démonstration: preuve classique = jeu à deux
joueurs]
présentation de l’ouvrage:
trois approches:
- relégation des monstres
on change les concepts face aux exceptions
- relégation d’exceptions
on prend les contre-exemples comme exceptions
- preuves et réfutations
on augmente la conjecture des résultats intermédiaires
qui ont été disqualifiés par les contre-exemples
trois résultats:
- les polyèdres de ?
- les polyèdres de cauchy sont eulériens
- les polyèdres de ?
en tire 4 règles pour la recherche de preuve
math ok (découpage d’un polyèdre eulérien)
[quelle différence entre inductif/déductif]
discussion de quelques conséquences de la relation d’Euler
activité en classe: euler pas au programme, mais injonctions (compétence
3, collège) pour faire développer des conjectures et raisonnements par
les élèves.
[on donne la formule?
oui mais seulement au temps 2]
fin à 15h04
suggestion de christian: en tirer une version "abordable" de lakatos.
suggestion de francois: une pièce se théâtre.
le premier projet était d’écrire une vignette pour le projet klein.
pierre: il faudrait peut-être juste une vignette sur la relation d’euler.
c’est parti.
fin des questions à 15h16
Méjani
Documents
Exposé
Notes de Lionel:
farida méjani différentes représentations du nombre début 15h20 exposé s’adressant à des apprentis didacticiens -- contexte -------- premier réflèxe: wikipédia: ce qu’on en fait, mais pas de définition. tlfi: dit qu’il n’y a pas de définition mathématique. programmes scolaires: à l’école primaire: deux documents de référence (éduscol) : le nb au cycle 2, au cycle 3. distinction oral/écrit insistent sur les fonctions du nombre au collège: référence: les nb au collège consolidation numération et opérations nouveaux nb au lycée: plus de nombre, mais du calcul institutionnellement, l’acquisition est supposée faite [quels nombres ?] un travail de recherche ----------------------- les nombres brésiliens: les n qui s’écrivent dans une base <n-1 avec des chiffres tous identiques. a formalisé la définition 2013 est brésilien. à tenu une narration de recherche - pourquoi <n-1 - 7 l’est - est-ce le plus petit - 2013 - ... - que peut-on dire sur ceux qui ne s’écrivent qu’avec des 1 a juste trouvé un article dans (quadrature?). exercice compliqué. fin 15h32 a eu du mal a prendre du recul n’est pas sortie des exemples fin des questions 15h42
Huysmans
Documents
Exposé
Notes de Lionel:
violaine huysmans
début à 15h44
where mathematics comes from
----------------------------
de george lakoff et rafael nunez
en anglais + sciences cognitives (lakoff): dur!
point de départ: caractère inné des capacités numériques fondamentales
capacités démontrées dès les premiers mois
le livre parle des actions inconscientes qui permettent de faire des preuves, dénombrer, ...
thèse: les maths n’existent pas en dehors des concepts de la vie courante
concepts de sciences cognitives
- images mentales
- métaphore conceptuelle: moyen par lequel l’abstraction se fait (exemple: vocabulaire chaud/froid adapté aux relations humaines)
- conceptual blend: mélange des précédents
grounding metaphor: du concret (empiler des objets) à l’abstrait (addition)
linking metaphor: entre deux concepts déjà abstraits
(remarque perso: on voit bien en maternelle que les enfants comprennent différemment cardinal et ordinal)
exemples avec l’arithmétique:
collections d’objets, construction à partir de briques élémentaires, mesure, déplacement
exemple de linking metaphor: passage de l’arithmétique aux opérations ensemblistes
métaphore de l’infini (itération de mouvements perpétuels)
[question: infiniment petit?]
et puis jusqu’à dedekind, weierstrass, ...
thèse: les maths n’existent pas en dehors de la pensée humaine
pas de transcendentalité des maths
pas de vérité transcendentale
[question: critique]
prétendent que c’est utile pour l’enseignement, sans exemple.
(une idée: met en avant la nécessité de préserver le sens)
fin à 16h00
question de Pierre: est-ce que ça peut apporter quelque chose dans la pratique mathématique?
les constructions dans le bouquin donnent une réalité aux constructions en maternelle et en primaire. donne des arguments pour la didactique.
fin des questions 16h12
Bossez
Documents
Exposé
Notes de Lionel:
début 16h14 diffusion et vulgarisation sur PvsNP ------------------------------------ pourquoi ? deux questions d’élèves: à quoi ça sert, que font les mathématiciens. intérêt didactique: faire fonctionner les connaissances quel énoncé ? comparaison: * le figaro * wikipédia * institut clay contenu proposé: au delà d’une conf mettre en activité les élèves. ---- la présentation: contexte (clay) définition par wikipédia notion de complexité exemples d’algo et calcul de complexité compter les 1 dans une suite de 0 1 recherche d’une valeur dans un tableau trié (log) tri (ex: poly) rue Z [que veut dire complexité ici??] voyageur de commerce [complexité exponentielle??] explication de la terminologie du figaro (facile/difficile) explication de P vs NP exemple 2-colorabilité approche de la NP-complétude enjeux pour la société (cryptage, industrie, ...) ---- ces activités sont-elles vraiment accessibles par des élèves? et lesquels (log!) ? dans quel temps ? les notions de complexité asymptotique ?
Schettino
Documents
Exposé
Notes de Lionel:
olivier schettino début 16h56 Recherche et représentation --------------------------- NB: c’est devenu obsessionnel Développements décimaux nécessité personnelle de représenter visuellement --- Représentation graphique de la suite des décimales d’un nombre réel [décimales (?) dans une base q] Premier jet, en binaire: 0->droite, 1-> haut --- Fait en excell: confronté à la représentation binaire en notation scientifique. Tente avec un algo implémenté en excell: s’arrête au même endroit. Calcule avec un autre outil: excell mange les décimales quand on les rentre à la main. Essaie avec un langage de programmation (algobox): pire. Se réoriente vers l’application directe à des suites de bits. Codage de Thue Morse. Compare à des suites aléatoires. --- Tente la base 4, avec encore moins de succès (erreurs d’arrondi tout de suite). Fin à 17h15 Fin des questions à 17h24.
Claudet
Documents
Exposé
yannick claudet art gallery problem début 17h27 Quel est le nombre minimal de gardiens suffisants pour surveiller un musée à n murs. 1. tentatives de recherches perso sans documentation Exemples. Carré: 1. Polygones à angles droits: rectangles crénelés (conjecture: n creux -> n+1 caméra) Idée: découper en secteurs angulaires. "conjecture": les intersections de zones angulaires donnent les positions des gardes theorème: pour une forme convexe: 1 garde suffit. la réciproque n’est pas vraie. Questions: - unicité de la solution - non recoupement des zones de vision des gardiens - peut-on découper les musées pour simplifier le problème - y a-t-il des sous musées de référence 2. recherches d’élèves de 2nde générale Même sujet pour les élèves: dessin de croquis et formulation de conjectures. Dégénère un peu (formes/dessins). restriction aux polygones orthogonaux. demande d’algo. (résultat positif de l’opération: les élèves ont saisi la notion de conjecture) un groupe a beaucoup produit. un autre est arrivé à une conjecture standard en 1h. 3. ce qu’on lit dans O’Rourke (1987) En anglais :-( méthode de fisk (n/3): trianguler, 4-colorier les sommets, selectionner la couleur la moins présente. KKK (n/4), similaire à Fisk avec des quadrilatères. 4. analyses des perspectives mathématiques élèves motivés par le sujet, qui se manifestent sous un autre jour ? fin 17h40 --- question de pierre: c’est évident que s’il y a une solution elle s’obtient en plaçant les gardiens aux sommets il faudrait travailler sur un temps plus long, ou faire un stage hippocampe fin des questions 17h49
Strock
Documents
Exposé
Notes de Lionel:
jean-marcel strock début 17h53 travail sur les nombres irrationnels cf cours (Matheron, Mercier) puis thèse Assude. Pierre: Teichmuller: ça fait peur Christian: zeta(3) facile… en fait non finalement: étude de quelques nombres irrationnels et démonstrations d’irrationalité --- sqrt(2): connu puis sqrt(5,6,8,10) nombre d’or e, pi détails pour pi méthodes d’approximation diophantienne utile pour zeta(3) (mentionne théorème des nombres premiers) pour zeta(3): théorèmes d’Apéry, puis Beuker. détail des preuves, très technique fin 18h09 ------ exposé à placer dans le supérieur, à des collègues enseignants travail biblio: littérature sur le sujet travail didactique: identifier les techniques et technologies utilisées pas vraiment de support de présentation (affichage du rapport sous word)
Ntie
Documents
Exposé
Notes de Lionel:
PRISCILLA NTIE début 18h15 polya, comment résoudre un problème. A. synthèse de l’ouvrage présente la 1e et la 3e partie partie 1 I comprendre le problème II concevoir un plan III mettre le plan à exécution IV revenir sur la solution obtenue partie 3 petit dictionnaire d’heuristique. - heuristique moderne - problèmes à résoudre / problème à démontrer - pourquoi des preuves fin 18h… B. ébauche d’un point de vue didactique 1. comment apporter une réponse à une question Q schema herbartien (de la TAD pur jus!) 2. organisation mathématique et orgranisation didactique a. un moment absent dans l’ouvrage et où la TAD peut apporter quelque chose le moment de la première rencontre avec la théorie: comment faire un plan quand on ne connaît rien sur le sujet. b. la question des raisons d’être comment rendre un problème concret c. quel modèle épistémologique ? chez polya: épistémologie empiriste. " le futur mathématicien s’instruit par la pratique " 3. à propos de dévolution polya : étude de la géométrie > calcul de diagonale > exercice TAD: exercice > ... C. Une proposition en terminale STG. Thème optimisation à deux variables. Enrichissement du milieu didactique: geogebra et tableur. Raison d’être issue du programme: optimisation linéaire. Proposition à retrouver dans le mémoire. Situation de recherche > algébrisation (système d’inéquations linéaires) > se raccrocher à ce qu’on sait faire (systèmes d’équations) > régionnement du plan. fin 18h28 >> comment faire en classe, sans géométrie?? ça marche pour la mise en équation Polya ne s’intéresse pas à l’émergence des notions via des situations de recherche. >> Et la preuve ?? pas de déduction formelle en STG allers-retours avec le tableur pour expérimenter, travail sur des exemples génériques >> François: est-ce que travailler avec ce livre en parallèle d’un atelier a >> apporté quelque chose ? C’est complémentaire. Un reproche à Polya: ne se préoccupe pas du contexte, passe à côté de ce qu’a apporté la didactique. Remarques: présentation scolaire, lit un poly, mais c’est vif bonus exposé en 10min fin des questions à 18h37